let  その1
September 2nd,2012
   let は、「させる」「許す」などと訳されることの多い動詞です。 make の一部の使い方と似ており、「使役動詞」などと言われます。 それはともかく、Let's go.  の「行こう」 「〜しよう」の Let's が一番なじみが深いのではないでしょうか。 Let's は、 Let us の略です。 直訳すると、「我々が〜するのを許そう」 ということになります。 今回アップした Runner-2 と Keiko & Professor のBreakにそれぞれ一回ずつ出ています。 それぞれ出ているところからみても、それなりに使われる頻度の高い動詞ということになります。

She asked him to watch her running and to let her know what his impression was.

She asked him 彼女は、彼に頼んだ
to watch her running 彼女がランニングするのを見ることを
to let her know  彼女に知らせることを
what his impression was 彼の印象か何かを

Let her know what your impression is.
直接の言葉だと、上記のようになり 「あなたの印象を彼女に知らせてください」 となります。

What is your impression? あなたの印象は何ですか。
という文をくっつけるときに、「くっつけた文は疑問文でなくなるので、ひっくり返る必要がなくなる」 というようなことを前に書いたと思いますが、この辺は、慣れるのに時間が必要です。
また、一つの文の中では、過去形(She asked)なら過去形に合わせるという英語の厳格なルールがあり(教科書では「時制の一致」) was になっています。

The professor looked at Keiko's annoyed face and he let them take a break for a moment.

The professor looked at  教授は、見た
Keiko's annoyed face ケイコのいらいらした顔を
he let them take a break 彼は、彼女らに休憩を取らせた
for a moment  少しの間

annoy は、「いらいらさせる」という動詞です。
She was annoyed by his ignorance. 彼女は、彼の無知にいらだった。 「いらいらした」が、逆にひっくり返るのは他にもたくさんあり、我々日本人はいらいらすることになります。
Most Japanese are annoyed by this English rule.
I'm surprised at the news.  そのニュースに驚いた
I'm impressed with her speech. 彼女のスピーチに感心した
ここでの、by ,at, with なども annoy する部分ですが、その辺のことはlook at の at など無数にありますから、よく使われるものから地道に慣れていくしかありません。
なお、 let の過去形も let ですから、これも annoy させられます。  

let  その2
September 2nd,2012
"I have something to tell you."    "What is it? Let me know. "  "My father let me use his car."  "What?"  "My car was broken. He allowed me to use his car."   "Oh,really. I didn't know that your car was broken.  Let's go somewhere like an amusement park by your father's car. "   "He won't let me drive with you."    "....."  

broken は、「故障した」という意味です。
allow (アラウ) も、「許す」という同じ意味の動詞ですが、こちらは make や let のように、let +人+動詞 という特殊な使い方はできませんから、allowed me to use で、to use「使うこと」を許した という形になっています。
somewhere は、「どこか」
like は、「〜のような」という前置詞です。
won't は、will not の短縮形で、「しようとしない」という意味なので、「君とドライブするのを許そうとしない」という意味になります。

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